Coniche luogo nel piano: GENERAZIONE ORGANICA DI UNA ELLISSE (MAC LAURIN, BRAIKENRIDGE)

Nella "Geometria Organica" (fig.), Mac Laurin dimostra il seguente teorema: Se un poligono, di forma variabile, si muove in modo che tutti i suoi lati passino rispettivamente per altrettanti punti fissi assegnati e tutti i suoi vertici, tranne uno, percorrano curve algebriche rispettivamente di grado m,n,p,q...., il vertice libero traccerà una curva algebrica di grado 2mnpq..., ma di grado metà (mnpq...) qualora i punti fissi siano allineati. Il modello illustra un caso particolare: il poligono è un triangolo i cui lati possono ruotare attorno a tre punti fissi; due vertici del triangolo percorrono rette (curve di grado 1); il vertice libero descrive una conica (curva di grado 2), che nell'esempio proposto è una ellisse. Si prolunghino le rette su cui scorrono due vertici del triangolo: si constaterà che esse intersecano la conica in tre punti (uno di questi è il punto d'incontro di tali rette). Se a questi tre punti si aggiungono i due punti fissi (appartenenti alla conica) attorno a cui ruotano i lati del triangolo si ottengono cinque punti che, insieme al vertice libero del triangolo, individuano un esagono inscritto nella conica; il terzo lato mobile del triangolo contiene i punti di intersezione delle coppie di lati opposti dell'esagono. Il modello quindi dà una versione "meccanica" del teorema di Pascal (esagramma mistico). Da notare che Mac Laurin, nella sua dimostrazione, non fa alcun riferimento a concetti di geometria proiettiva. 

fig..