DIMOSTRAZIONE Macchina di Oddi-Paciotti

Sono dati GV (asse reale dell'iperbole), GR (lato retto, perpendicolare a GV: coniugazione ortogonale). Lo strumento si dispone in modo tale che AB e LM si incrocino in V (secondo estremo dell'asse). Inoltre LM deve contenere R e il primo estremo G dell'asse si colloca sul perno fissato in AB. Si ha dalla similitudine dei triangoli ISV e RGV e da ES=SI, ES:(SG+GV)=GR:GV. Inoltre SF2 = ES·SG. Con notazioni moderne, posto SG=x, SF=y, GR=2p, GV=2a si ricava  (equazione caratteristica dell'iperbole). In modo analogo si conduce la dimostrazione nel caso della ellisse e della parabola.