DIMOSTRAZIONE Generazione di quartiche. Sezioni del toro (metodo del Delaunay)

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con asse delle ascisse su s e origine in O, piede della perpendicolare condotta da Q ad s, siano (x,y) le coordinate di P e (x’,y’) le coordinate di A. Sia inoltre: AB=a, BP=b (b>a), d la distanza di Q da s e k2=b2-a2. Si ha: x'=x

BH2=BA2-AH2=BP2-PH2→a2-y'2=b2-y2

 che sostituite nell’equazione della circonferenza danno luogo alla: (x2+y2+k2+d2-r2)2=4d2k2-4d2y2 equazione di una ovale del Cassini. Se (k-d)2=r2 si ottiene una lemniscata e se inoltre k=r si ottiene una lemniscata del Bernoulli (equazione (x2+y2)2+8r2*(x2-y2)=0).