DIMOSTRAZIONE Generazione di curve trascendenti. Cicloidi

Sistema di riferimento (ortonormale): asse x coincidente con la base; asse y passante per il centro C del cerchio mobile, di raggio = r; origine O nel punto di contatto iniziale fra cerchio mobile e base. Sia inoltre d la distanza tra C e il punto tracciatore P. Siano C' e P'(x,y) le posizioni di C e P in un istante successivo a quello iniziale; K' la proiezione ortogonale di C' sulla base; N' la proiezione ortogonale di P' sulla retta C'K'; infine O' allineato con C' e P'. Indichiamo con -φ l'angolo descritto dal raggio r nel passaggio dalla posizione iniziale a quella successiva considerata (angolo negativo essendo la rotazione oraria). Si ha ovviamente: arco (rettificato) O'K'= r φ=OK'; N'P'=-d senφ; C'N'=d cosφ; x = OK'+N'P', y = C'K' - C'N'; da qui le equazioni parametriche, x=rφ-d cosφ y=r-d cosφ(d=r per la cicloide ordinaria), e l'equazione cartesiana, , da cui si vede (porre y±2kπ al posto di y) che la curva č costituita da archi sovrapponibili per traslazione ed č compresa nella striscia di piano limitata dalle rette y=r±d.