DIMOSTRAZIONE Generazione di inviluppi: metodo della corrispondenza. Iperbole
Le rette dellinviluppo sono a due a due parallele: infatti scelti due punti X1 (ascissa X1 ) e X2 (ascissa X2 ) sulla retta r simmetrici rispetto al punto X0 di ascissa , le rette congiungenti X1 e X2 con i loro corrispondenti Y1 e Y2 sulla retta r sono parallele: infatti la condizione di parallelismo X1 2-X2 2=X1 -X2 è soddisfatta se X2 =1-X1 . Per le due tangenti parallele tendono a sovrapporsi alla retta r. Per le tangenti parallele coincidono sulla retta t dellinviluppo congiungente il punto X0 () sulla retta r con il punto (sulla r). Se la curva inviluppata è una iperbole le rette r e t sono i suoi asintoti.
Considerata ora una generica retta dellinviluppo , indicate con A e B rispettivamente le intersezioni con le rette r e t si può verificare che il triangolo X0AB ha area costante: infatti e dalla similitudine dei triangoli BAX0 e BCY0 si ha , ove k è la distanza fra le rette r ed r, quindi larea del triangolo X0AB è (proprietà caratteristica dell'iperbole). La curva γ inviluppata è dunque un iperbole con centro nel punto X0 e avente per asintoti le rette r e t. Applicando alla retta r una qualsiasi traslazione. la curva γ' inviluppata è ancora una iperbole. Infatti γ e γ' si corrispondono in una omologia affine di asse r che trasforma r nella r" ottenuta con la traslazione. Se la retta r viene traslata in modo tale che la perpendicolare ad r ed r condotta per O intersechi in X0 la retta r , liperbole inviluppata è equilatera. Ciò equivale a rappresentare sulle rette r ed r la funzione .