DIMOSTRAZIONE Sezioni coniche (Menecmo): amblitome

Nel piano di base:
1) DE : EC = EC : EF, quindi: ED·EF = EC2.

Nel piano del triangolo per l'asse
2) DAE simile MFE, quindi: DE : EM = AE : EF, cioè

3) EC2 = ED·EF = EM·AE.

4) IGA simile MFE, quindi: EM : AI = EF : AG.

5) LFE simile LGA, quindi: EF : AG = EL : AL. Confrontando la 4) e la 5) (transitiva) si ha:

6) EM : AI = EL : AL. Scambiamo i medi:

7) EM : EL = AI : AL. Moltiplichiamo per AE al primo membro:

8) (EM·AE) : (EL·AE) = AI : AL.

Ma AI = 2AN e, tenendo conto della 3), si ha:
9) EC2 : (EL·AE) = 2AN : AL.

Tutti questi segmenti stanno sul piano della sezione.

In questo piano introduciamo un sistema di riferimento cartesiano con origine A e asse x su AL (da L verso A).
Poniamo: AE = x, EC = y, LA = 2a, AN = p (parametro).
La 9) si può scrivere: y2 : (2a+x) = 2p : 2a (equazione dell'amblitome).