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DIMOSTRAZIONE Coniche focali: teorema di Apollonio
ABS è il triangolo assiale di un cono rotondo; AB l'asse focale della ellisse sezione, in un piano perpendicolare ad ABS; MFN è la sezione della sfera di Dandelin nel piano di ABS, F un fuoco della ellisse. Per note proprietà delle tangenti ad una crf. si ha: SA-SB=MA-NB=FA-FB =costante. Perciò il luogo di S nel piano del triangolo assiale è un ramo di iperbole di fuochi A e B e vertice F. Si dimostra anche che: "è costante la somma (o differenza) delle distanze di un punto variabile lungo l'ellisse da due punti fissi della iperbole focale, situati sopra rami diversi (o sullo stesso ramo)" (generalizzazione di note proprietà metriche dell'ellisse e dell'iperbole considerate nel loro piano).