DIMOSTRAZIONE Generazione di inviluppi: metodo della corrispondenza. Ellisse

Siano r ed r' due rette parallele ed O e O', origini dei sistemi di riferimento, su una perpendicolare alle due rette. Sia X l'estremo di un segmento di lunghezza x e OA e AB siano due segmenti di lunghezza unitaria posti sulla OO'. Sia AZ perpendicolare ad AX e BZ parallelo ad OX. Allora BZ ha lunghezza 1/x. Il triangolo rettangolo XAZ ha altezza costante e uguale ad 1 e i segmenti ZX inviluppano la circonferenza di centro A e raggio 1. L'omologia affine di asse r, direzione dei raggi perpendicolare ad r e rapporto O'O/BO fa corrispondere al punto Z il punto Y (corrispondente di X nella y=1/x) e trasforma la circonferenza inviluppo dei segmenti XZ in una ellisse E inviluppo dei segmenti XY.
Applicando ad r' una qualsiasi traslazione la curva E' inviluppata č ancora una ellisse. Infatti E ed E' si corrispondono in una omologia affine di asse r.