DIMOSTRAZIONE Trasformazione di De La Hire

L’omologia è definita dalla retta limite BC (direttrice nel linguaggio di De La Hire), dall’asse ED (formatrice) e dal centro A. Sia dato un punto (generico) P (nel piano di BC, ED, A): trovare il corrispondente Q.
Esecuzione: Condurre da P una retta che incontri ED in Z e BC in X; congiungere A con X; da Z mandare la parallela ad AX fino ad incontrare AP in Q. Q è il corrispondente di P. La costruzione precedente si può convalidare (oltre che per via sintetica, come suggerisce il modello) anche ricavando da essa le equazioni canoniche della omologia piana. Per esempio: si scelga l’asse delle ascisse sulla retta luogo di punti uniti (y=0); l’asse delle ordinate (sistema ortonormale) passante per A(0,k); la retta limite avrà allora equazione y=a. Sia P(p,q) il punto da trasformare. Come retta per P è comodo scegliere PO (O essendo l’origine del sistema di riferimento). Equazione di PO: qx-py=0. Sia X la intersezione tra PO e y=a. Retta per O parallela ad AX: . Retta AP: . Intersecando AX ed AP, ponendo Q(x’,y’), p=x, q=y, b=(k-a) si ottiene

equazioni canoniche della omologia. Si noti che a=distanza tra asse e retta limite; b=distanza tra centro e retta limite. (Per completezza occorrerebbe dimostrare che il risultato è invariante rispetto alla scelta della retta per P).