DIMOSTRAZIONE Anamorfosi per riflessione. Cilindro

Costruzioni ed equazioni.
Si procede nel seguente modo:
Si determina la corrispondenza che associa al punto P il punto P’, intersezione del prolungamento di δ con π, quindi si determina il punto Q su π, simmetrico di P’ rispetto al piano τ tangente in A alla superficie cilindrica (Q è anche, su π, il simmetrico di P’ rispetto a t, retta tangente alla circonferenza di base del cilindro nel punto A’ proiezione ortogonale di A su π). Infatti, considerato il raggio δ come raggio incidente emesso da S, il raggio riflesso δ’ (per le leggi della riflessione) giunge in Q come se provenisse da una sorgente S’ simmetrica di S rispetto al piano tangente in A al cilindro. Poiché tale piano è perpendicolare a π i punti S ed S’ hanno la stessa quota h, le rette SP’ ed S’Q sono simmetriche rispetto a tale piano, i punti intersezione con π (P’ e Q) sono simmetrici rispetto a t (intersezione di τ con π).
Calcoliamo anzitutto la distanza OK del piano γ (piano parallelo all’asse del cilindro e secante il cilindro lungo le rette di contatto dei piani tangenti al cilindro condotti per S) dall’asse del cilindro. Poiché OTS è un triangolo rettangolo si ha: . Considerando inoltre i triangoli rettangoli simili PHP’ (H proiezione ortogonale di P su π) ed SS"P’ (S" proiezione ortogonale di S su π) si ha (posto PH=hp):
(1) h/hp=S''P'/HP'. Proiettando ortogonalmente su π tutti i punti e facendo inoltre ruotare il piano γ attorno a T’Z’ fino a sovrapporlo a π (il punto S, per conservare l’allineamento con P e P’ ruota attorno ad S" fino a sovrapporsi ad S*) si ha la situazione illustrata in figura.

I punti P e P’ si corrispondono nella omologia di centro S* e asse T’Z’, i punti P’ e Q sono simmetrici rispetto alla tangente t in A’ alla circonferenza.
La costruzione di Q è allora immediata. Da P appartenente a γ sovrapposto a π, condurre la perpendicolare PH a T’Z’. Costruire il punto S* distante h da S". Condurre le rette S*P ed S"H fino al punto di intersezione P’ (si ha infatti HP'/PH=P'S''/S''S* cioè h/hp=P'S''/P'H come in (1)). Indicata con A’ l’intersezione della circonferenza di base del cilindro con il raggio S"P', costruire la tangente t alla circonferenza in A’ quindi il simmetrico Q di P’ rispetto a t.
Equazioni.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in O, asse x coincidente con OS* determinare:
1) le coordinate di P’ in funzione delle coordinate di P
2) l’ampiezza dell’angolo HS*K’ = α dalla relazione: 
3) l’ampiezza dell’angolo A’OS* =  dalla relazione  (teorema dei seni applicato al triangolo OS*A’
4) le coordinate di A’ () e l’equazione della retta t (polare di A’ rispetto alla circonferenza)
5) le equazioni della simmetria assiale di asse t e quindi le coordinate di Q, simmetrico di P’ rispetto a t.