DIMOSTRAZIONE Anamorfosi per riflessione. Cilindro
Costruzioni ed equazioni.
Si procede nel seguente modo:
Si determina la corrispondenza che associa al punto P il punto P, intersezione del prolungamento di δ con π, quindi si determina il punto Q su π, simmetrico di P rispetto al piano τ tangente in A alla superficie cilindrica (Q è anche, su π, il simmetrico di P rispetto a t, retta tangente alla circonferenza di base del cilindro nel punto A proiezione ortogonale di A su π). Infatti, considerato il raggio δ come raggio incidente emesso da S, il raggio riflesso δ (per le leggi della riflessione) giunge in Q come se provenisse da una sorgente S simmetrica di S rispetto al piano tangente in A al cilindro. Poiché tale piano è perpendicolare a π i punti S ed S hanno la stessa quota h, le rette SP ed SQ sono simmetriche rispetto a tale piano, i punti intersezione con π (P e Q) sono simmetrici rispetto a t (intersezione di τ con π).
Calcoliamo anzitutto la distanza OK del piano γ (piano parallelo allasse del cilindro e secante il cilindro lungo le rette di contatto dei piani tangenti al cilindro condotti per S) dallasse del cilindro. Poiché OTS è un triangolo rettangolo si ha: . Considerando inoltre i triangoli rettangoli simili PHP (H proiezione ortogonale di P su π) ed SS"P (S" proiezione ortogonale di S su π) si ha (posto PH=hp):
(1) h/hp=S''P'/HP'. Proiettando ortogonalmente su π tutti i punti e facendo inoltre ruotare il piano γ attorno a TZ fino a sovrapporlo a π (il punto S, per conservare lallineamento con P e P ruota attorno ad S" fino a sovrapporsi ad S*) si ha la situazione illustrata in figura.
I punti P e P si corrispondono nella omologia di centro S* e asse TZ, i punti P e Q sono simmetrici rispetto alla tangente t in A alla circonferenza.
La costruzione di Q è allora immediata. Da P appartenente a γ sovrapposto a π, condurre la perpendicolare PH a TZ. Costruire il punto S* distante h da S". Condurre le rette S*P ed S"H fino al punto di intersezione P (si ha infatti HP'/PH=P'S''/S''S* cioè h/hp=P'S''/P'H come in (1)). Indicata con A lintersezione della circonferenza di base del cilindro con il raggio S"P', costruire la tangente t alla circonferenza in A quindi il simmetrico Q di P rispetto a t.
Equazioni.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in O, asse x coincidente con OS* determinare:
1) le coordinate di P in funzione delle coordinate di P
2) lampiezza dellangolo HS*K = α dalla relazione:
3) lampiezza dellangolo AOS* = dalla relazione (teorema dei seni applicato al triangolo OS*A
4) le coordinate di A () e lequazione della retta t (polare di A rispetto alla circonferenza)
5) le equazioni della simmetria assiale di asse t e quindi le coordinate di Q, simmetrico di P rispetto a t.