DIMOSTRAZIONE Proprietà dell'inversione: trasformazione di una circonferenza in circonferenza (1°)

Siano P e Q due punti corrispondenti nell’ antiinversione e γ la circonferenza di centro M e raggio r (nel modello r<OM). Congiunto O con M siano E e K le intersezioni di γ con la retta OM.
Sia F il corrispondente di E nell’antiinversione: poiché , F appartiene alla retta OM e alla circonferenza passante per P, E e Q (teorema delle corde). I triangoli OQF e OEP sono inversamente simili.
Sia G l’ulteriore intersezione di OP con γ: anche i triangoli OGK e OEP sono inversamente simili quindi i triangoli OGK e OQF sono omotetici rispetto ad O (infatti sono direttamente simili e i vertici corrispondenti sono allineati con O) Il punto Q è il corrispondente di G nella omotetia di centro O e rapporto . Allora quando P descrive γ, anche G descrive γ ma in verso opposto e Q descrive la circonferenza γ', omotetica della γ rispetto ad O, nello stesso verso di G e quindi in verso opposto rispetto a P.