DIMOSTRAZIONE Biellismo per la polarità circolare (1°)

Sia Q l’intersezione di OP con CD; poichè Q è punto medio di CD si ha: AQ=AP=PB=BQ, perciò OAQBP è un inversore di Peaucellier e i punti P e Q si corrispondono nell’inversione circolare rispetto alla circonferenza γ di centro O e raggio .
1° caso : la retta CD interseca la circonferenza γ nei punti S e T. Poichè (1)  (proprietà fondamentale dell’inversione); poichè CD e OP sono perpendicolari (per ragioni di simmetria); si deduce che il triangolo OSP è rettangolo in S (II teorema di Euclide). Quindi PS e PT sono le tangenti condotte da P alla γ e la retta CD è la polare di P rispetto a γ
2° caso: La retta CD non interseca γ, P è interno a γ e la retta MN perpendicolare per P ad OQ interseca γ. Poichè è AM=BN=AP, MN è la polare di Q rispetto a γ; quindi CD è la polare di P rispetto a γ (proprietà della corrispondenza polare).