DIMOSTRAZIONE Quadratrice di Dinostrato

Una volta costruita la curva, per ottenere la trisezione di un angolo acuto qualsiasi (ad esempio (Fig.1) l'angolo PDC) si procede così: tracciare da P la parallela a DC fino al punto M, dividere in tre parti uguali il segmento MD (ND=(1/3)MD), tracciare infine la parallela a DC per il punto N fino ad incontrare in Q la trisettrice. La semiretta DQ divide l'angolo PDC in tre parti uguali (ricordare che i movimenti di AB e DA sono simultanei e uniformi).

Dinostrato dimostra invece (Fig.2) che il segmento AD è medio proporzionale tra l'arco AC e il segmento DT: è così possibile ottenere un segmento rettilineo lungo come l'arco AC (pari a 1/4 di circonferenza). Dopo di che è facile, con semplici costruzioni geometriche, arrivare a un quadrato di area uguale al cerchio di raggio AB. Riportiamo qui di seguito la dimostrazione per assurdo fornita da Pappo (che non sarebbe accettabile secondo i criteri attuali di rigore). Tesi: AC:AD=AD:DT (*). Supponiamo che invece della (*) valga la proporzione AC:AD=AD:DK, con DK>DT (**). Si descriva la circonferenza di centro D e raggio DK; sia H il suo punto di intersezione con la quadratrice; si conduca da H la perpendicolare HS, si prolunghi infine DH fino ad incontrare in E la circonferenza AEC. Ora per la ipotesi (**) si ha AC:AD=AD:DK=AC:RK (perchè due circonferenze stanno fra loro come i diametri). Quindi RK=AD (***). Ma per una proprietà della quadratrice (che discende immediatamente dalla sua costruzione): AC:EC=AD:HS, quindi RK:HK=AD:HS. Ma dalla (***) segue allora HK=HS (assurdo). Analogamente si dimostra che la ipotesi (**) conduce all'assurdo nel caso DK<DT.

Equazioni della quadratrice-trisettrice. In coordinate polari (polo nel vertice D, asse polare sovrapposto al lato DC (Fig.3) si ricava subito (posto DC=a) l'equazione:

(1) πρ senϑ=aϑ

Infatti dalla proporzione AC:EC=AD:HS (ovvia conseguenza del modo in cui la curva è generata) si ricava ; da qui l'equazione precedente.
In coordinate cartesiane, si assuma il sistema di riferimento come in Fig.3. Dalla (1) si deduce immediatamente πx=2aϑ, cioè . Ma è , perciò: .