DIMOSTRAZIONE Triangoli isoperimetrici nel cerchio (soluzione meccanica: Suardi)
"Dato un triangolo possiamo cercarne un altro che sia non solo isoperimetrico, ma obbligato a qualche altra condizione. Per esempio, nella figura 1, viene proposto di trovare un triangolo isoscele HFQ isoperimetrico ad un altro, ma tutti e due nel medesimo circolo. Il circolo perciò è una direttrice variabile a capriccio, e che poteva essere del pari una linea retta, una ellisse, una concoide di base circolare, ecc. e il suo diametro è una linea data di posizione, perché ad essa potevasi applicare qualunque altra direttrice" (Suardi).
Il problema si risolve per mezzo di una curva di quarto grado, tracciabile con lo strumento a filo descritto. (Si noti che, essendo il triangolo dato isoscele, possiamo operare in una sola metà)
Sia HC=r, p la lunghezza del filo HSP e 2p il perimetro del triangolo isoscele assegnato HAB. Sia inoltre SCG=2α e SHG=α. Fissato il sistema di riferimento come in figura, siano (x,y) le coordinate di P. Si ha x=2r cos2α y=r sen2α-(p-2r cosα). Eliminando α si ottiene: (y+p)4+2*(y+p)2*(x2-4rx)-8rx2*(2r-x)+(x2-4rx)2=0. Al variare di p la curva trasla (verso l’alto o verso il basso) restando immutata.
