DIMOSTRAZIONE Proiezioni all'infinito di punti di una curva: nodo
Le diverse situazioni rappresentate nei modelli possono essere facilmente comprese facendo riferimento alle seguenti proprietà della prospettività fra piani (proprietà che caratterizzano le trasformazioni continue):
se un punto appartiene ad una curva il corrispondente appartiene alla curva trasformata;
se una retta è tangente ad una curva la corrispondente è tangente alla curva trasformata;
se un punto appartiene ad una determinata regione piana, il corrispondente appartiene alla regione piana trasformata.
Si riferiscano i piani prospettivi π e π (centro della prospettività S) ciascuno ad un sistema di assi cartesiani: xHy (su π) , xKy (su π).
Gli assi x e x coincidono con le rette limite; su questi assi le rispettive origini coincidono con i punti limite H e K. I versi scelti sugli assi si leggono in figura.
A(x,y) e A(x,y) sono due punti corrispondenti ; P e P le loro proiezioni ortogonali sugli assi delle ordinate. Dalla considerazione dei triangoli simili SHP, SKP e KPA, KLM, posto SH=d, SK=h, PA=LM=x, HP=y, PA=x, KP=y (i segmenti sono orientati) si ricava:
*) *)
Usando le *) è possibile ricavare su π la trasformata di una figura appartenente a π (e viceversa). Applicandole alle equazioni delle curve utilizzate nel modello, si può verificare facilmente la correttezza delle conclusioni.