Coniche luogo nel piano: GENERAZIONE ORGANICA DELLE CONICHE (NEWTON, MAC LAURIN)
La "Geometria Organica" ha come oggetto di studio la generazione di una curva piana (di grado qualsiasi) mediante il movimento continuo del punto di intersezione di due rette opportunamente "guidate" nel piano stesso della curva. Il metodo (gią usato da Descartes nella "Geometria") viene applicato alla definizione delle coniche negli "Elementa Curvarum Linearum" di J. De Witt (1659), studiato accuratamente da Newton (per via sintetica nei "Principia" del 1687, per via analitica nella "Aritmetica Universale" del 1707), e ripreso da Mac Laurin (con metodi pił generali e maggior completezza) nella "Geometria Organica" (fig.) (1720). Diamo qui l'enunciato dei "Principia" (Libro I, Sezione V, Lemma XXI), facile da seguire (con carta e matita): Se due rette AQ, BQ mobili ed infinite, condotte attraverso i punti dati A, B come attraverso poli, con l’incontrarsi in Q descrivono una terza retta s di posizione data; e se vengono condotte sui punti dati A e B altre due rette infinite AP, BP che, insieme alle prime, formano due angoli dati QAP, QBP: dico che le due AP, BP, col loro incontrarsi in P, descriveranno una sezione conica passante per i punti A,B. E inversamente. Il teorema di Mac Laurin permette di determinare il tipo di conica tracciata. Precisamente: si consideri la somma degli angoli QAP, QBP (che ruotano intorno ai poli A, B); si consideri il segmento circolare di base AB capace dell'angolo esplementare di tale somma; se questo segmento interseca la retta s si ha una iperbole, altrimenti una ellisse; in caso di tangenza, una parabola.
