Genesi Tridimensionale della Inversione Circolare: INVERSORE DI PEAUCELLIER (ANTIINVERSIONE)

Data una circonferenza  g   di raggio r e centro O, si dice che due punti P, Q del suo piano si corrispondono in una inversione avente  g   come circonferenza base, se risulta verificata la relazione OP·OQ = r2.

Si può dimostrare facilmente che l'inversione rispetto a   g   si può ottenere come prodotto di due proiezioni stereografiche di una sfera avente anch'essa centro in O e raggio uguale a quello di g . Precisamente: sia S una sfera avente   g   come cerchio massimo; si proietti un punto A della sfera dai due poli del cerchio massimo g sopra il piano di questo; le proiezioni stereografiche di A, in tale piano, sono due punti P e Q che si corrispondono nella inversione circolare avente g come base.

Questa trasformazione (che non è lineare ), si può costruire direttamente nel piano con uno strumento inventato da Peaucellier (1864), e costituito da due rombi articolati (uno interno all'altro) aventi in comune due vertici opposti. Assumendo come punto fisso (centro di inversione: imperniato al piano) uno dei vertici del rombo che ha i lati maggiori si ottiene una inversione circolare (circonferenza base con raggio reale) nella quale si corrispondono i punti (allineati col centro) che sono vertici opposti del rombo coi lati minori; assumendo invece come centro (imperniato al piano) uno dei vertici del rombo che ha i lati minori si ottiene una antiinversione circolare (circonferenza base con raggio immaginario) nella quale si corrispondono i punti (allineati col centro) che sono vertici del rombo coi lati maggiori. Per realizzare una singola inversione o antiinversione (non entrambe) sono sufficienti 6 aste: si sopprimeranno (per avere la inversione) due dei lati maggiori (gli altri due si incontreranno nel centro); per avere la antinversione saranno invece soppressi due dei lati minori (gli altri due si incontreranno nel centro).

NOTA. Alcune coppie di modelli presenti in questa sezione ( genesi tridimensionale della traslazione , traslatore del Kempe , genesi tridimensionale della omotetia , pantografo di Scheiner , genesi tridimensionale di una omologia affine- caso dello "stiramento"- , biellismo di Delaunay , genesi tridimensionale della inversione circolare , inversore di Peaucellier ) illustrano molto bene alcuni aspetti della "solidarietà" tra geometria dello spazio a tre dimensioni e geometria del piano (vedi anche sezione 2: prospettografi di Lambert ). E' inoltre evidente che ogni biellismo o sistema articolato realizza solo "localmente" le trasformazioni puntuali piane prese in esame: cioè pone in corrispondenza regioni limitate (e "piccole") del piano. Quindi dal fatto che tali apparecchi funzionano (con precisione che opportuni accorgimenti tecnici possono rendere anche molto elevata) non è lecito ricavare alcuna conclusione sulla struttura geometrica dello spazio fisico.