DIMOSTRAZIONE Generazione di inviluppi: metodo della podaria. Iperbole
Metodo per la costruzione dell'inviluppo.
Sia H un punto di una circonferenza di centro O ed F1
un punto esterno alla circonferenza. HG sia la corda passante per F1
e t la sua perpendicolare in H. Dimostriamo che t inviluppa una iperbole. Sia F2
il simmetrico di F1
rispetto ad O e sia K l'ulteriore punto di intersezione della retta t con la circonferenza. K e G sono estremi di un diametro e KF2
č parallelo a GH (per simmetria rispetto ad O). Sia LF1
parallela a GK. Sia P il punto di intersezione fra LF1
e HK. Si ha: LK=KF2 PL=PF2
(simmetria rispetto a PK) F1P-PF2=F1P-PL=F1L=GK=2r. Quindi P appartiene all'
iperbole
di centro O, fuochi F1
ed F2
ed asse maggiore uguale a 2r. Inoltre poichč gli angoli HPF1
e KPF2
sono uguali, t č tangente alla iperbole in P.