DIMOSTRAZIONE Guida rettilinea di Hart (2°)

Si consideri un caso più generale; sia OO’=O’M’=a, OM=MM’=b , O’C’=2a, OC=2b. Il punto Q è una delle intersezioni della circonferenza γ (centro C e raggio 2b) con la circonferenza γ' (centro C’ e raggio a). L’ulteriore intersezione P delle due circonferenze è il punto simmetrico di O rispetto ad M’. Infatti : indicato con S il simmetrico di O rispetto ad M’, dalla similitudine dei triangoli OM’M e OSC si ha SC=2b e dalla congruenza dei triangoli O’OM’ e M’SC’ si ha SC’=a e quindi S coincide con P. P descrive una circonferenza. Infatti: condotta da P la parallela ad O’C’ e indicata con T l’intersezione con la retta r si ha: TP=TO=2a. Anche Q descrive una circonferenza. Si prolunghi OC e sia A l’intersezione con γ, si congiunga Q con O e con A e si prolunghi QA fino ad incontrare in Z la retta r. La circonferenza γ interseca la retta r nei punti O e B e la retta QC in V. I triangoli OQZ e QVB sono simili (infatti entrambi sono rettangoli e QÔZ=QVB). Poichè QVB ha ipotenusa costante, anche OZ è costante e Q descrive la circonferenza di diametro OZ. Calcoliamo il valore del rapporto di similitudine costante. Sia , M' Ô' O=2β, M' MO=2δ, da cui CÔB=ϑ=β+δ. Si dimostra che: OCQ=M'C'Q. Infatti: l’angolo fra i lati QC’ e QC è CQC'=CPC'=MM''O=2δ-ϑ=δ-β (PC’ è parallelo ad r, PC è parallelo ad MM’, M" è il punto di intersezione tra MM’ ed r). L’angolo fra i lati O’C’ e OC è O'HO=ϑ-2β=δ-β. Posto OCQ=2α si ha: OBQ=OÂQ=α, , , VQB=α-ϑ. Da cui:  (teorema della corda). Con riferimento ai triangoli isosceli PCQ e PC’Q si ha: 

 quindi PF=2b sen(α-δ)=α sen(α-β). Dalle relazioni:  (l’ultima è relativa al triangolo O’MO). si ricava:  e quindi . Quando  la circonferenza descritta da Q degenera nella retta s perpendicolare ad r e passante per O.