Generazione di QUARTICHE: CONCOIDE DELLA RETTA (CARTESIO). CONCOIDE DELLA RETTA (SUARDI)
Siano dati nel piano un punto fisso O (polo), una retta fissa s (base), un segmento rettilineo b (intervallo); indichiamo inoltre con a la distanza tra O ed s. Si conduca per O una retta arbitraria r che incontri la base s nel punto M: a partire da M si riportino su r (da entrambi i lati rispetto ad s) due segmenti MP=b. Il luogo dei punti P si chiama concoide (della retta). La curva (quartica) ha due rami distinti: uno dei quali ha un nodo se b>a, una cuspide se b=a, un punto isolato se b<a. La retta base è un asintoto per la concoide. I due rami da cui essa è composta venivano anticamente considerati come curve distinte. Per esempio Pappo (300 a.C.) distingue tra prima, seconda, terza e quarta concoide (le ultime tre corrispondono alle diverse forme del ramo che contiene il punto doppio). La grande celebrità della curva è dovuta al fatto che si può tracciare facilmente con buona precisione: il "compasso" del Suardi (fig.) coincide sostanzialmente (a parte qualche accorgimento tecnico che garantisce la possibilità di cambiare polo, base e intervallo) con quello inventato da Nicomede (200 a.C. circa) per risolvere i problemi della duplicazione del cubo e della trisezione dell'angolo (inaffrontabili con riga e compasso). La curva fu studiata a fondo da Fermat, Roberval e Huygens. Lo strumento di Cartesio è un caso particolare del cinematismo (descritto in Conicografi: iperbolografo di Cartesio ) ideato per produrre curve di "genere" superiore utilizzando curve già note ("Geometria", libro II°): gli specchi servono soltanto ad evitare errori di parallasse nella lettura dell'intersezione tra la retta girevole attorno al polo e le circonferenze che traslano.
Fig. da G. B. Suardi, Nuovi istromenti per la descrizione .., Brescia, 1752