Generazione di QUARTICHE: LEMNISCATA DEL BERNOULLI
Lo strumento è costituito da un antiparallelogramma articolato ABCD (AB, DC lati maggiori; AD,CB lati minori). I due vertici opposti A,B sono imperniati al piano; il punto medio M del lato mobile CD descrive la curva. La proprietà incorporata nello strumento (che si ricava subito applicando il teorema di Carnot ai triangoli OMA, OMB - dove O è il punto medio del lato fisso AB) è la seguente: la curva tracciata è il luogo dei punti M tali che risulta costante il prodotto delle loro distanze da due punti fissi (fuochi), che sono precisamente A e B. Questa proprietà caratterizza in generale una famiglia di curve note come Curve del Cassini (celebre astronomo del XVII° secolo: la sua opera fondamentale, "Elementi di Astronomia", fu pubblicata tuttavia dal figlio solo nel 1749; il Cassini riteneva che le orbite dei pianeti si potessero descrivere meglio servendosi non di ellissi, ma di curve appartenenti a questa famiglia). La Lemniscata del Bernoulli è dunque una particolare Cassiniana, e si distingue da altre lemniscate di forma analoga ( sezioni del toro ) perchè le due tangenti nel nodo sono fra loro perpendicolari (nel meccanismo qui presentato ciò si ottiene dando opportune lunghezze ai lati dell'antiparallelogramma). Si può dimostrare questo notevole teorema: le circonferenze che hanno i centri su una iperbole equilatera e passano per il suo centro di simmetria inviluppano una lemniscata del Bernoulli.