La collezione di Macchine Matematiche I
A cura di: Marcello Pergola
1. Introduzione
1.1 Gli scopi della collezione Le "macchine matematiche" conservate nel Museo (strumenti per tracciare curve e risolvere problemi, meccanismi per realizzare trasformazioni, modelli per illustrare teoremi o configurazioni geometriche, ecc.) costituiscono una collezione in corso di ampliamento. Sono state costruite tenendo conto (in modo molto libero) di descrizioni contenute nella letteratura scientifico-tecnica (durante un arco temporale che va dalla Grecia classica fino ai primi del '900) e dopo una serie di esperienze rivolte ad esplorare la possibilità di un loro impiego didattico (v. Monografia ). Proprio la finalizzazione didattica ha finora contribuito a determinare alcuni caratteri della raccolta, in particolare la sua configurazione marcatamente antologica. Tra i numerosi vantaggi offerti dall'uso di queste "macchine" nel processo di apprendimento (suscitano interesse; rafforzano intuizione e immaginazione; consentono di approfondire il rapporto tra modelli matematici e realtà; aiutano a cercare, trovare e scrivere dimostrazioni; mettono in contatto diretto con fatti geometrici di tipo nuovo o inconsueto legati al movimento, ecc.) uno soprattutto si è rivelato importante: la loro presenza conduce in modo spontaneo e "naturale" insegnanti e studenti (quindi anche chiunque sia curioso di comprenderne significato e funzioni) ad immergersi in una dimensione storica, a interrogarsi sui rapporti tra matematica, società, cultura. Emergono allora numerosi problemi (le brevi note che seguono ne costituiscono un primo - parziale - elenco); si evita un rischio "ben presente nell'ideologia della professione scientifica: svalutare la storia, distruggere il proprio passato" (v.Bibliografia).
1.2 Modelli reali e modelli virtuali Poiché si tratta di macchine "matematiche" (e in quanto tali vengono proposte) è possibile sostituirle con modelli virtuali (simulazioni tramite computer). Così però dall'analisi del rapporto tra modelli fisici e modelli matematici ci si sposta su quella del rapporto tra due diversi tipi di modelli matematici. Soprattutto da un punto di vista storico-didattico, c'è notevole differenza. Inoltre, la manipolazione fisica di oggetti tridimensionali è molto più ricca di contenuto e di stimoli (ed è anche il presupposto) di ogni simulazione. Meglio allora affiancare modelli virtuali e modelli reali, in modo da consentire l'osservazione di entrambi.
1.3 Scienza e tecnologia Come ogni scienza particolare, anche la matematica è rivolta "ad un determinato ambito dell'essente, già disponibile in una qualche forma prescientifica di accesso e di rapporto". In tale ambito resta "prigioniera": ma nel confronto continuo con altre scienze e altre attività essa progressivamente differenzia, precisa, arricchisce temi, metodi e linguaggi, dà senso ai suoi programmi di ricerca (Bibliografia#HEID). Di ciò, tutti gli oggetti qui raccolti costituiscono un esempio significativo. Sia quando utilizzati dai "pratici", sia quando inseriti come disegni o progetti (questi ultimi a volte appena abbozzati) entro costruzioni astratte, essi hanno intrattenuto relazioni articolate e complesse con forme di concettualizzazione e contenuti della conoscenza matematica. Benché profondamente diversi, per la loro fisicità, dagli "oggetti matematici", sono a questi contigui, ne accompagnano crescita e cambiamento. In modo simmetrico, le comunità dei matematici si configurano in ogni epoca come ben distinte da quelle (artigiani, ingegneri, artisti, mercanti ecc.) che hanno prodotto sistemi tecnici; ma entrambe sono avvolte da una fitta rete di comunicazioni e di scambi (senza che ciò ne intacchi l'autonomia o tolga possibilità di conflitto). Macchine e strumenti costituiscono uno dei piani di contatto (o di "frizione") tra scienza e tecnologia, entro i quali ha preso forma la tendenza a ricercare un punto di equilibrio con la progressiva riduzione dell'una e dell'altra a linguaggio, e attraverso i quali realtà non scientifiche possono influire sul pensiero scientifico formalizzato.
1.4 Macchine e geometria Certo, una collezione centrata sulla geometria ritaglia - nell'immenso universo delle macchine - regioni particolarissime: tuttavia illustra - in tale ambito ristretto - vicende storiche più generali. Mette in evidenza alcuni dei fili con cui il pensiero matematico (che non può essere interamente ricondotto al mondo sensibile) si è comunque sempre vincolato ad attività (operazioni) concrete, e seguita a svilupparsi (specie in alcuni settori) su un intreccio forte tra aspetti strumentali e aspetti teorici. La matematica può essere pensata, nel suo fondamento, come pura volontà di dire; ma in essa agisce la "costrizione empirica" a visualizzare fisicamente, concretamente ciò che l'immaginazione ha costruito, gli "occhi della mente" hanno potuto vedere, la parola e il segno esprimere (Bibliografia#AGAM) (Bibliografia#CAC1).
2. Alcuni temi culturali
2.1 Introduzione I modelli o gli strumenti catalogati coprono un periodo di tempo troppo ampio per poterli osservare e studiare tutti col medesimo sguardo. Benchè solo in casi eccezionali siano mezzi di produzione (in quanto macchine "matematiche" il loro obiettivo principale è infatti incorporare, render visibile una legge, uno schema astratto) anche in essi si riflettono alcuni cambiamenti di fortissima rilevanza che hanno caratterizzato l'evoluzione generale del concetto di macchina. Occorre almeno ricordare: il passaggio dalle macchine intese come organismi artificiali (a volte con connotazioni magiche), a quelle in cui la distinzione tra "naturale" e "artificiale" è attenuata o scomparsa (meccanicismo di derivazione cartesiana); dalle macchine progettate globalmente e costruite come "pezzi unici" per opera di artigiani abili e colti (certamente non isolati ma agenti in fondo come "solisti") a quelle scomposte analiticamente in "parti costituenti intercambiabili" (passaggio, quest'ultimo, che trova le sue radici negli accuratissimi disegni degli ingegneri rinascimentali); la scoperta della contraddizione "fra precisione necessaria alla costruzione delle macchine e macchine necessarie a fabbricare pezzi sufficientemente precisi"; infine, la separazione tra struttura fisica e struttura concettuale delle macchine (risultato fondamentale della "grande geometria" sviluppata nei primi anni dell' Ottocento: Monge e Poncelet i nomi più noti) (Bibliografia#EEMA).
Diamo ora qualche rapida indicazione su altri temi che sarà necessario approfondire perchè appaia, in modo sufficientemente chiaro e articolato, la rete di connessioni che lega allo sviluppo storico della scienza e delle idee il complesso dei materiali raccolti.
2.2 L'antichità classica E' noto (Bibliografia#RUSS) che nella geometria di Euclide (e in tutta quella dell'epoca alessandrina) riga e compasso sono (in assenza di tecniche numeriche) gli "strumenti di calcolo" più precisi e affidabili per risolvere problemi. La teoria sviluppa un modello matematico delle attività eseguibili con tali strumenti. Si vincola quindi a rigorosi canoni di scientificità: la costruibilità (con riga e compasso) è il criterio di esistenza per gli oggetti geometrici; il concetto di infinito è ammissibile solo in quanto ridotto a procedure iterative eseguibili e ben controllate. Tuttavia, la richiesta di costruibilità riguarda unicamente l'esistenza dell'oggetto: le sue proprietà (cioè le verità geometriche) sono trovate, non costruite (convinzione che si conserva a lungo tra i matematici, anche in epoca moderna).Sappiamo che la geometria greca ha conosciuto anche strumenti o "meccanismi" diversi dalla riga e dal compasso; ha considerato però in generale come "provvisorie" le soluzioni fornite da questi nuovi congegni meccanici per alcuni tipi di problemi, studiato con metodi classici gli oggetti da essi generati, e sviluppato comunque una profonda diffidenza nei confronti dei moti "nel tempo" (ad esempio, i moti "sincronizzati": si pensi alla generazione della quadratrice di Ippia-Dinostrato, implicante necessariamente un controllo temporale). In questa scelta teorica confluiscono senza dubbio sia la scarsa considerazione che i filosofi greci avevano per le attività pratiche (in un celebre passo della "Vita di Marcello" Plutarco attribuisce a Platone la condanna dei metodi meccanici che contaminano la "purezza" del discorso geometrico) (Bibliografia), sia l'influenza esercitata dal pensiero di Aristotele: vietando la commistione tra "generi" diversi, questo pensiero si è configurato per lungo tempo come un pesante ostacolo epistemologico alla costruzione di concetti implicanti il confronto diretto tra spazio e tempo, o il rapporto tra grandezze non omogenee, o la "fusione" di moti distinti e non confrontabili (composizione dei movimenti in senso moderno).Così viene progressivamente codificata la separazione tra geometria e meccanica, caratteristica del pensiero greco.Questo contribuisce a spiegare perchè (ad esempio nella teoria delle coniche) il metodo delle "sezioni" sia preferito ad altre tecniche di generazione (pur note e possibili); perchè l'ottica sia trattata come teoria geometrica pura (modello matematico della visione) (Bibliografia); perchè un netto privilegio sia stato concesso a quella che noi ora chiamiamo "statica" (da cui Archimede ricava un metodo euristico famoso) (Bibliografia).
2.3 La ripresa moderna Quando, nel '500 e nel '600, gli studi matematici hanno una energica e diffusa ripresa (anche per opera degli umanisti, che scoprono e diffondono i trattati scientifici antichi, e soprattutto riaccendono l'interesse per la matematica attraverso il recupero di Platone e le interpretazioni date alla sua opera) lo spazio culturale è ancora caratterizzato da forme di pensiero radicate nella tradizione scolastica medievale (la quale - va ricordato - si presenta già con una grande articolazione di posizioni diverse, dibattiti, fermenti critici). Alcune importanti novità (che trovano per lo più origine in ambienti estranei alle istituzioni della cultura "ufficiale") acuiscono e introducono in esso ulteriori tensioni e contrasti, assumendo gradualmente forza decisiva nel processo di trasformazione del pensiero scientifico (in particolare di quello matematico).
2.4 Elementi di novità: l'algebra Osserviamo intanto che in quell'epoca la geometria riprende a svilupparsi intrattenendo e mantenendo con la realtà fisica legami assai più stretti di quelli presenti nella geometria alessandrina. C'è una persistente difficoltà a comprendere il carattere di "modello" della geometria euclidea, ad accettare (o almeno ad apprezzare) il "costruttivismo" euclideo. In particolare, viene giudicata inutile (e comunque "riformulabile" in modo più intuitivo e "concreto") (Bibliografia) la fondazione euclidea del concetto di rapporto fra grandezze. In questo contesto si produce l'incontro con l'algebra. Sviluppata a contatto con la nuova realtà delle attività commerciali, produttive e costruttive in espansione, coltivata quindi tra i pratici e nelle scuole d'abaco ben più che nelle Università, l'algebra porta con sè (oltre a innovazioni linguistiche e tecniche difficilmente sopravvalutabili) una mentalità più spregiudicata ed aperta, un modo diverso di strutturare i ragionamenti. Da un lato, l'algebra fornisce un mezzo potente per semplificare l'esposizione delle prove e le tecniche deduttive nel momento in cui (conclusa la fase della "soggezione" ai classici, della "imitazione") il pensiero rinascimentale è tutto impegnato nello sforzo di dimostrare la propria superiorità sugli antichi, la propria capacità innovativa. (Anche in seguito, nella letteratura matematica del '600, ricorre spesso la critica di "eccessiva complessità" rivolta ai geometri del passato, le cui argomentazioni sono sempre sostituite con altre dichiarate "nuove" e più "facili"). Dall'altro, l'algebra contribuisce fin dall'inizio in modo decisivo alla (lentissima) maturazione della consapevolezza che le espressioni matematiche hanno carattere formale, che la matematica è un linguaggio costruito artificialmente, non un inventario di oggetti e delle loro proprietà assolute, ma un insieme di relazioni. Indubbiamente, l'immaginario dei matematici rimane ancora per molto tempo "geometrico": il processo di aritmetizzazione delle teorie (si pensi, in particolare, alla teoria delle coniche) è tuttavia - dopo Cartesio - piuttosto rapido. Lo "stile analitico", dapprima complementare (o integrato) a quello "sintetico", in seguito si autonomizza ed elabora propri (e più elastici) criteri di rigore. Si può documentare che l'uso delle macchine (in particolare l'esperienza accumulata disegnando curve mediante strumenti) "ha avuto un ruolo di fondamentale importanza nello sviluppo storico e teorico della geometria analitica, del simbolismo algebrico, del calcolo, del concetto di funzione" (Bibliografia).
2.5 Elementi di novità: la prospettiva Un'altra importante novità è legata alle tecniche di rappresentazione "in piano" dello spazio tridimensionale (prospettiva, procedure grafiche per il taglio delle pietre) studiate e sviluppate per la maggior parte tra il XV° e XVI° secolo nelle botteghe degli artisti e nei cantieri civili e militari.Il successo della prospettiva nell'arte del '500, l'importanza che assunse, l'entusiasmo che suscitò hanno ragioni profondamente legate alla cultura del tempo. Nella proiezione, l'immagine risultante è determinata dalla distanza e dalla collocazione di un "punto di vista": questo è in perfetta corrispondenza simbolica con la visione del mondo di un periodo "che aveva inserito una distanza storica - comparabile a quella prospettica - tra se stesso e il passato classico, e aveva collocato la mente umana nel centro dell'universo, proprio come la prospettiva collocava l'occhio al centro della rappresentazione grafica" (Bibliografia). La posizione "frontale" dell'occhio è raccomandata come opportuna nella maggior parte della trattatistica (particolarmente ricca in questo campo) perchè mette in evidenza l'organizzazione matematica dello spazio attraverso l'armonia e la bellezza delle proporzioni, rivelando nel contempo in modo forte la presenza di un soggetto che, attraverso le leggi da cui tale armonia è regolata (e parte egli stesso di tale unitaria armonia) agisce sulla realtà. La potenza dell'artista è analoga a quella del Principe, che sa costruire e mantenere il suo dominio mediante la conoscenza scientifica dei vizi e delle virtù degli uomini, dei modi in cui la fortuna può esser piegata a proprio favore. E' una potenza "laica", tutta calata sulla terra, ma poiché è in grado di "creare", ha una natura paragonabile a quella divina. Così nelle opere del Rinascimento soggetto e oggetto si implicano, anzi l'oggetto (proprio in quanto pensato come oggetto di scienza) è una funzione del soggetto. Esaltazione del soggetto, dunque. Ma la formulazione di un codice ("naturalità", "verosimiglianza", "armonia", ecc.) implica trasgressione. Nella regola è contenuta la possibilità della licenza. Se la pittura umanistico rinascimentale mette l'uomo al centro, l'insinuarsi del dubbio sulla sua effettiva capacità di conoscere e di conoscersi lo può decentrare. Le anamorfosi, le prospettive "stravaganti" (in cui l'occhio dell'artista è fortemente laterale, "fuori campo") non sono soltanto un esercizio, una sperimentazione, una curiosità: sono anche il segno di una crisi filosofica. Mostrano come quelle stesse leggi che regolano armonia e bellezza possono sregolarla o nasconderla. Se la rappresentazione di un oggetto non deve somigliargli affatto perché esso ci appaia così com'è da un opportuno punto di vista, in che modo sarà possibile "fidarsi" di ciò che vediamo? Non è forse il nostro un punto di vista del tutto particolare? Anche se la nuova scienza ci permette di raggiungere verità parziali (e cogliere ad esempio l'unità delle coniche come proiezioni anamorfiche del cerchio) chi, se non lo sguardo privilegiato ed "esterno" di Dio, potrà afferrare il tutto, l'insieme? (Pascal). E in uno spazio destrutturato, reso omogeneo dalla molteplicità dei centri (punti di vista) possibili, come può il soggetto non fare i conti con la sua solitudine, nella ricerca del fondamento, del sistema di riferimento, dell'origine di ogni scienza? (Cartesio). L'interesse per la prospettiva ha condizionato notevolmente lo sviluppo della geometria "pura" nel '600. La concettualizzazione matematica delle molteplici attività grafiche legate alla rappresentazione e alla costruzione degli oggetti fisici inizia assai presto e proprio per opera di artisti (Piero della Francesca è uno di questi), alimentata dal contatto con la vivacità dell'ambiente culturale in cui prende avvio: come vedremo meglio in seguito, si autonomizza rapidamente separandosi dalla produzione artistica "alta" e concentrandosi piuttosto sull'esame delle svariate pratiche empiriche correnti e delle strumentazioni meccaniche di appoggio usate nelle "botteghe" di artigiani o artisti famosi. Queste botteghe erano veri e propri laboratori industriali, legati spesso a interessi economici forti che spiegano (almeno in parte) contrasti "teorici" altrimenti difficili da capire (per es. quello che oppone Desargues e Bosse da un lato, Dubreuil, Le Brun, Le Bicheur dall'altro) (Bibliografia). Molte sono le ricerche specialistiche sulle prime sistematizzazioni della geometria proiettiva. Ricordiamo alcune questioni importanti, ancora parzialmente aperte: a) quale è stato il ruolo della geometria greca classica (per es. dei trattati di Apollonio, o dei lemmi sui birapporti sviluppati da Pappo nel libro VII° delle "Collezioni Matematiche") nel processo di sviluppo dei concetti proiettivi? (Bibliografia) (Bibliografia). b) come si affaccia e si impone all'uso dei geometri la nozione di infinito attuale? (Bibliografia). c) quali connessioni tra scienza della prospettiva, tecniche di proiezione cartografica, misurazioni astronomiche, arti militari e - in generale - matematica applicata? d) come spiegare - in questo campo - il "ritardo" della matematica inglese (che tuttavia aveva sviluppato un notevole corpus di conoscenze pratiche) su quella continentale?
In queste vicende la funzione delle macchine è stata duplice: diretta (per esempio, l'analisi, l'ideazione e la costruzione di strumenti "automatici" per il disegno si integra strettamente - come vedremo - alle prime formulazioni rigorose della geometria proiettiva) e indiretta (per esempio, la necessità di descrivere le macchine ha indotto gli studiosi, fin dai primi grandi trattati rinascimentali, allo sviluppo di tecniche per la loro rappresentazione grafica "in piano": strumento molto più efficace rispetto alla parola) (Bibliografia).
2.6 Elementi di novità: la rivalutazione della meccanica Il terzo evento a cui vogliamo accennare è il progressivo rifiuto del concetto aristotelico di scienza che relegava le arti meccaniche fra le attività vili, indegne dell'uomo libero. In questa esposizione schematica lo indichiamo per ultimo: ma occorre ricordare che esso è presupposto per il manifestarsi e il dispiegarsi degli altri due. La rivalutazione delle arti meccaniche (che prende avvio già nel XV° secolo ed è stata oggetto di numerosi studi) (Bibliografia), (Bibliografia), (Bibliografia) si collega alla crescente importanza sociale dei tecnici, alla formazione di una nuova figura di intellettuale (l'artista-ingegnere) entro una progressiva "laicizzazione" della produzione artistica. Fondamentali in questo processo: il ruolo delle corti rinascimentali, che avevano grande capacità di concentrare talenti e si trasformavano spesso in veri e propri centri di ricerca (pittura, architettura civile e militare, apprestamento di feste, costruzione di macchine da guerra, ecc.); lo sviluppo dell'economia mercantile (strumenti per la navigazione, tecniche di calcolo, osservazioni astronomiche); lo scambio di informazioni tra artigiani, artisti, tecnici - dotati spesso di una solida cultura matematica - e scienziati. Si avvia una tendenza a fondere attività artistico-tecniche e conoscenze scientifiche. Si incrina la contrapposizione tra vita attiva e vita contemplativa, la concezione della scienza come contemplazione della verità. In un ideale attivo e collaborativo di conoscenza scientifica, la verità può essere costruita: ci si allontana dal carattere ricettivo delle epistemologie antiche e medievali, inizia a sgretolarsi il muro divisorio tra conoscenza umana e divina. La cultura (che non coincide più con l'orizzonte delle arti liberali) prende coscienza in modo sempre più accentuato dei limiti del mondo antico; gradualmente, anche dei propri: ma questi devono se è possibile (qualche dubbio comincia ad affacciarsi) essere continuamente superati. In questo lungo periodo, l'interesse per le macchine ha avuto molti aspetti: sono considerate a volte come mezzi attivi di padronanza della natura, a volte soltanto come prove di intelligenza e di genialità (molti congegni presenti nei diffusissimi "teatri di macchine", a partire dal '500, sono puramente mentali, in realtà irrealizzabili ) (Bibliografia) (Bibliografia); sono vissute come fattori di prestigio ed emancipazione sociale (soprattutto nel '500, secolo del mecenatismo), oppure inserite e integrate con precise funzioni (esemplificazioni dimostrative, supporto intuitivo, mezzo euristico) entro costruzioni teoriche astratte. Si tratta comunque di un interesse che ha attraversato tutta la società determinando una ristrutturazione progressiva dei sistemi tecnici: ha agito ("in parallelo" con l' Umanesimo) nella rivolta contro la scolastica, e contribuito poi in modo decisivo - durante la prima "rivoluzione scientifica" - al processo di matematizzazione della natura. Nel quale - semplificando drasticamente - possiamo individuare due fasi. La prima è quella caratterizzata dal naturalismo rinascimentale: per il quale la matematica non è solo una attività dell'uomo, è il linguaggio della realtà. "Numero e ritmo non sono un ordine tirannico imposto alla natura, ma la legge immanente al suo stesso vivere e pulsare, un vincolo interno che è il senso stesso delle cose" (Bibliografia). La filosofia naturale è ancora in parte assoggettata alla matematica (o meglio, alla geometria) che "detta alla fisica quali formule e figure si devono cercare in natura: proporzioni semplici, figure geometriche perfette" (Bibliografia). Il ritmo della natura non è tuttavia regolato solo da numeri e forme matematiche, dalla esattezza: ci sono corrispondenze segrete, analogie, forze qualitative che sfuggono alla ragione calcolante. Ermetismo neoplatonico, magia naturale, alchimia: divinizzando la natura, rendono meritevoli di indagine molti suoi aspetti particolari prima trascurati; fanno sorgere e portano a maturazione tendenze sempre più accentuate verso la trattazione matematica, esatta, di problemi specifici. Ma così il quadro "armonico" tende a scomporsi: "quando i fisici si rivolgono alla matematica con problemi concreti da risolvere per mezzo di una formula o di una figura (non necessariamente la più semplice o la più perfetta dal punto di vista matematico), quando cioè si emancipano dalla "tirannia" della matematica, si mettono in grado di utilizzarne molta di più, perchè cominciano a vederla come un linguaggio, non come un inventario di entità reali" (Bibliografia). Fra i problemi particolari presi in esame quello del moto locale fu di singolare importanza: la sua analisi mise di nuovo in rapporto (sia dal punto di vista del metodo che dei risultati) geometria e movimento, che i greci avevano separato. In questa fase le macchine (ovviamente legate al movimento) conservano, almeno in parte, un carattere simbolico e magico (nel senso "scientifico" di magia naturale). La seconda (che con la prima in realtà lungamente convive) è quella caratterizzata dal rifiuto del dualismo tra fisica terrestre e fisica celeste (indebolito - o comunque reso problematico - con la "rivoluzione copernicana"), e dal prevalere di immagini meccanicistiche della realtà (in quelle di tipo cartesiano viene abolita - per ciò che riguarda il mondo fisico, inclusi gli esseri viventi in quanto organismi spaziali - ogni distinzione tra naturale e artificiale che non sia dovuta a puri ordini di grandezza). "La teoria del moto locale è capace di fondare tutte le altre; l'universo è una grande macchina, un insieme composto da parti in movimento, comprensibile dunque nella misura in cui risulta comprensibile il movimento stesso" (Bibliografia). Come insieme delle sue parti, il mondo è un "teatro di macchine". In questa fase, la macchina "realizza" la matematica, "invera" la matematica: e ciò è stato inteso in due sensi. O la meccanica diventa il fine della matematica (solo artificialmente si può svelare la legge interna che regola il mondo, poichè i sensi ci ingannano), oppure la matematica si giova della meccanica, ne ricava problemi, si rappresenta in essa.
2.7 Le macchine geometrico-matematiche Il piccolo (ma importante) insieme delle macchine geometrico-matematiche gioca qui un ruolo del tutto particolare. L'occhio esercitato di chi le usa può vedere ormai i disegni euclidei come macchine (li mette in movimento); e questo gli suggerisce costruzioni geometriche non ancora pensate, meccanismi di nuovo tipo. La macchina può così precedere la teoria, offrire il superamento pratico di divieti ed ostacoli derivanti dalla tradizione culturale; ma può anche condizionare gli sviluppi della teoria, cambiando significato e funzioni della legge che governa l'oggetto costruito. Poco importa, a questo punto, che la macchina sia reale o mentale. Il processo di "fusione" tra matematica e meccanica è così avanzato, che il destino delle macchine e degli oggetti matematici può essere d'ora in poi comune: al mutare degli apparati culturali, delle "contaminazioni" con realtà "esterne" alla scienza, sia quelle macchine che quegli oggetti (pur conservandosi identici in apparenza quando siano dotati di aspetto sensibile), non hanno più una "natura" stabile: cambiano insieme ai linguaggi (si riducono, tendenzialmente, a puro linguaggio).